新しい強制法手段の創造を目指して : メヒア ディエゴ MEJIA-GUZMAN Diego Alejandro（数学基礎論）

強制法理論と実数直線上の組合せ論

2023年3月取材

Chapter 01

強制法理論と強制法が実数直線の組合せ論に与える影響について研究

数学基礎論では、自然数や実数のようなすべての数学的対象が存在する抽象的な宇宙を考えています。

現代の数学者はこの宇宙の中で議論していますが、この宇宙を拡張し、別の数学的現実を見ることを可能にする手法があります。

その主な手法は「強制法理論」と呼ばれるもので、考案者であるポール・コーエンは1966年にフィールズ賞を受賞しました。例えて説明すると、元の宇宙の数学的原理を保存しつつ、ここには存在しない新たな対象が加わるという意味で、元の宇宙を拡張する（数学的な）仮想現実マシンを構築することができます。

最も不思議なのは、拡張された宇宙の中に新たな実数が現れることで、実数直線の組合せ論がこの拡張の中で操作できるようになります。コーエンはこれを利用して、20世紀の有名な問題である連続体仮説が元の数学的宇宙では真とも偽とも結論付けられないことを証明しました。

私は主に強制法理論と強制法が実数直線の組合せ論に与える影響について研究しています。測度や範疇といった古典的な概念、強測度ゼロの概念、およびそれらの断片や変形に関心があります。これらの組合せ論的概念を理解するために、新しい強制法手段の創造を目指しています。

Chapter 02

数学の限界、実数直線の影響を知り、「数学」をますます知りたくなった

数学的な疑問が生じたとき、通常数学者はそれが正しいかどうかを確認します。しかし、20世紀に創造された強制法理論などの手法により、数学の中（つまり、数学的宇宙の中）では真偽を決定できない連続体仮説のような数学的命題があることが発見されました。科学の中で最も厳密な数学でさえ、限界があるということ、しかも数学の主要な対象のひとつである実数直線にも影響されることを知った時に、私は非常に驚きました。

私は、この限界がどこまで続くのか、実数直線についてどこまで理解できるのか、標準的な数学ではどこまで到達できるかを理解するというのが主な研究の動機です。数学者が数学の新しい原理を受け入れ、現在解決できない問題の多くが最終的に解決される日が来ると信じています。それまでは、強制法から得られる発見が、これらの問題の解決に役立ち、また新しい数学の限界を理解するのにも役立つと思います。

[プロフィール写真]准教授 メヒア ディエゴ MEJIA-GUZMAN Diego Alejandro

准教授メヒア ディエゴ MEJIA-GUZMAN Diego Alejandro（数学基礎論）

1982年12月生まれ、2014年神戸大学大学院システム情報科学研究科博士課程修了、2014年ウィーン大学・ウィーン工科大学研究員、2016年静岡大学理学部講師、2019年静岡大学理学部准教授
2022年より第５期若手重点研究者

主な研究業績

受賞歴：
  • 修士課程の奨学金：Mazda Fellowship（2007年～2008年、コロンビア）
  • 文部科学省奨学金留学生（2010年～2014年）
外部資金獲得状況：
  • 科学研究費補助金基盤研究C「Advances on Combinatorics of the real line and topology 」（代表2023年～2026年）
  • 科学研究費補助金若手研究「反復強制法の理論における新たな発展」(代表2018年～2023年）
国内外の学会誌編集等：
  • 京都大学数理解析研究所講究緑2198「集合論 : 連続体上の組合せ論と位相空間論」編集（2021年）
著書・論文：
  • １) M. Cardona, D.A. Mejía, I. Rivera-Madrid 「The covering of the strong measure zero ideal can be above almost everything else」Archive for Mathematical Logic 61, 653-683 (2022)
  • ２) M. Goldstern, J. Kellner, D.A. Mejía, S. Shelah「Cichon’s maximum without large cardinals」Journal of the European Mathematical Society 24, No. 11, 3951-3967 (2022)
  • ３) J. Brendle, M. Cardona, D.A. Mejía 「Filter-linkedness and its effect on preservation of cardinal characteristics」 Annals of Pure and Applied Logic 172, No. 1, 102856 (2021)
  • ４) M. Goldstern, J. Kellner, D.A. Mejía, S. Shelah 「Preservation of Splitting families and cardinal characteristics of the continuum」Israel Journal of Mathematics 246, 73-129 (2021)
  • ５) 「Matrix iterations with vertical support restrictions」In: Proceedings of the 14th and 15th Asian Logic Conference, World Scientific Publications, pp. 213-248 (2019)

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静岡大学若手重点研究者