量子力学におけるポテンシャル中の粒子の位置とエネルギーの関係を解明 ― ニュートン力学における位置とエネルギーの関係を量子力学で説明することに成功 ―

【研究者コメント】

静岡大学理学部 准教授・森田 健（もりたたけし）

ニュートン力学における、粒子のエネルギーと位置の関係は、高校の物理で習う力学の初歩的な性質です。それにもかかわらず、これまで量子力学では、それに対応する関係が不明瞭でした。本研究を通して、その関係を解明することが出来ました。今後は、この関係の応用を考えていきたいです。


【研究概要】

ニュートン力学では、ポテンシャル中に閉じ込められた粒子が、ポテンシャル内で運動できる範囲(位置の取り得る範囲)と粒子のもつエネルギーの間に、密接な関係があり、一般にエネルギーが高ければ高いほど、運動できる範囲が広がることが知られています。本研究では、このニュートン力学における位置とエネルギーの関係を、量子論のレベルから説明することに成功しました。また不確定性関係を応用することで、量子系のエネルギー準位などをシュレディンガー方程式を解かなくても導出できることを指摘しました。


【研究背景】

ミクロの世界では、全ての現象が確率によって支配されていることが知られています。例えば、全く同じ条件で、同じ粒子の位置を測定したとしても、一般に粒子の検出される位置は測定毎に変わります（図１）。しかし、その測定を繰り返すと、粒子の測定位置がある確率分布に従っていることがわかります。そして、この確率分布は、量子力学と呼ばれる理論体系で説明出来ることが20世紀初頭に解明されました。

量子力学を用いると｢粒子がその位置に存在する確率は○○%。｣｢粒子の位置を測定した場合の期待値(平均値)は△△。｣｢粒子の速度を測定した場合の期待値は□□。｣と、確率を通して粒子の運動の予言が可能となります。このようにミクロな世界は確率によって支配されているのですが、私たちの日常生活では、それを実感することはあまりありません。例えばボールを手から離すと、毎回同じようにボールは落下します。実際、私たちの身の回りの物体の運動は、ニュートン力学でよく記述されます。そしてニュートン力学では、基本的に確率的な要素がありません。そのため、同じ条件で実験をすれば、毎回同じ結果が得られることをニュートン力学は予言します。(量子力学は確率論であるのに対して、ニュートン力学は決定論です。)

このようにミクロな世界を記述する量子力学と、私たちの世界を記述するニュートン力学は、全く異なる理論体系となっています。そのため、ニュートン力学と量子力学の関係を理解することは、ミクロな世界と我々の世界(マクロな世界)を結びつける上で、とても重要になります。本研究ではポテンシャルに閉じ込められた粒子のエネルギーと位置の関係に注目して、量子力学とニュートン力学の関係を調べました。

まずニュートン力学における、エネルギーと位置の関係を紹介します。本研究ではポテンシャル中の粒子の運動を研究したのですが、簡単のため容器の中を転がるボールの運動に注目して説明します。図２のように、なめらかな容器の上にボールをそっとおくと、ボールは容器の内側を転がり、往復運動を続けます。(ボールと容器の間の摩擦などは無視することにします。)このときボールは、はじめにボールを置いた位置よりも高い位置に来ることはありません。また、ボールをより高い位置にそっと置いた場合は、往復運動の範囲が広まりますが、やはり、はじめにボールを置いた位置よりも高い位置に来ることはありません。このようにボールが運動できる範囲は、ボールをはじめに置いた位置によって決まります。

ニュートン力学では、この関係をエネルギー保存則を通して理解することが出来ます。ボールを高い位置に置くことで、ボールは位置エネルギーを獲得します。そしてボールが転がる際に、位置エネルギーは運動エネルギーに変換されます。そのため、はじめに獲得した位置エネルギーが大きいほど、ボールが運動できる範囲は広がります。しかし、エネルギーが保存するため、ボールははじめに置かれた位置よりも、高い位置に来ることはありません。このようなエネルギーと物体の運動できる範囲(物体の位置の取り得る範囲)の関係は、容器の上のボールの運動に限らず、様々な場面で見ることが出来ます。

では、このエネルギーと位置の取り得る範囲の関係は量子力学ではどのように理解できるでしょうか? 量子力学では、全ての現象が確率的に起こります。例えば図２で考えた、容器の中の粒子の往復運動は、量子力学では図３のように、確率分布を通して記述されます。そのため、ニュートン力学における、エネルギーと位置の関係を、そのまま量子力学に当てはめることは出来ません。そこで本研究では、エネルギーと位置の期待値に注目し、それら期待値の間に成立する関係を調べました。

粒子の位置は確率分布(赤線)によって、記述されます。粒子の位置は(適当な検出器で)測定するまでわかりませんが、この確率分布のピーク付近で検出される可能性が高いです。そして図2のように、容器内を往復する粒子に対応して、この確率分布のピークの位置が、時間が経つにつれて容器内を行ったり来たりと変化します。(粒子の確率分布はあたかも波のように容器内を運動します。)また粒子のもつエネルギーに関しても、エネルギーを(適当な検出器で)測定するまでわかりません。しかし、エネルギーの確率分布や期待値などは、量子力学で予測することが可能です。

【研究の成果】

本研究では、量子力学における粒子のエネルギーの期待値と、粒子の位置の期待値の取り得る範囲の関係の導出方法を確立しました。例えば図３で考えた容器の中の粒子の位置の期待値の取り得る範囲を調べると、図４のようにニュートン力学の予言する位置の取り得る範囲よりも狭いことがわかりました。(量子力学における粒子のエネルギーの期待値を、ニュートン力学におけるエネルギーと一致させて比較しています。)この範囲はニュートン力学と同様に、エネルギーの期待値を増加させると、広がります。また、エネルギーの期待値が十分大きい場合、量子力学における位置の期待値の取り得る範囲は、ニュートン力学における位置の取り得る範囲と、近似的に等しくなることを示しました。エネルギーが高くなると位置の期待値の取り得る範囲が広がるので、この結果はマクロな世界では、量子力学の結果がニュートン力学と一致することを意味します。これにより、(マクロな世界で成立する)ニュートン力学におけるエネルギーと位置の関係を、量子論のレベルから説明することに成功しました。

本研究では、位置の期待値の範囲を導出する際に、不確定性関係という、量子力学において恒等的に成立する関係式を用いました。そのため、本研究で導いた結果も、恒等的に成立する非常に強力な結果です。また本研究の解析方法は、粒子の位置以外の物理量(例えば粒子の速度)に関しても応用が可能で、それらの物理量の期待値の取り得る範囲も求めることができます。